\(\sqrt{1+\sqrt{2}}.P=\sqrt{1+2x}.\sqrt{1+\sqrt{2}}+\sqrt{1+2y}.\sqrt{1+\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{1+\sqrt{2}}.P\le\frac{1+2x+1+\sqrt{2}+1+2y+1+\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\ge x+y\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}P\le\frac{1+2x+1+\sqrt{2}+1+2y+1+\sqrt{2}}{2}\le\frac{4+2.\sqrt{2}+2.\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{2+2.\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mới nghĩ ra được max. Các cao nhân ai thấy sai thì sửa hộ e nhé.
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
\(P^2=\left(1.\sqrt{1+2x}+1.\sqrt{1+2y}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+2x+1+2y\right)\)
\(=4\left(1+x+y\right)\)
Lại có \(\left(x.1+y.1\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.\)
\(\Rightarrow|x+y|\le\sqrt{2}.\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}+1\le1+x+y\le\sqrt{2}+1\)
\(\Rightarrow P^2\le4\left(1+x+y\right)\le4.\left(\sqrt{2}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow-2\sqrt{\sqrt{2}+1}\le P\le2\sqrt{\sqrt{2}+1}\)
Vậy Max \(P=2\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)
sorry nhìu , nếu có đk x, y>=0 thì mk mới tìm được minP=3
nếu k phải thì mong cao nhân chỉ cho ak
Nếu sửa đề thì tìm min dễ hơn x,y>=0
\(P^2=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)}.\)
\(=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{1+2\left(x+y\right)+4xy}.\)
TỪ \(x,y\ge0,x^2+y^2=1\Rightarrow0\le x^2,y^2\le1\Leftrightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge x^2\\y\ge y^2\end{cases}\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow P^2\ge2+2\left(x^2+y^2\right)+2\sqrt{1+2\left(x^2+y^2\right)}=4+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}+1\)
Dấu = xảy ra x=0 y=1 hoặc ngược lại
Đây mà toán lớp 1 à ????
Mình chắc là lớp 6 còn chưa học mà.
Sửa đk thành x,y > 0. Ta sẽ chứng minh:
\(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}\ge1+\sqrt{1+2\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+1\right)+2\sqrt{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)}\ge2\left(x+y+1\right)+2\sqrt{1+2\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)}\ge\sqrt{1+2\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow4xy\ge0\left(true\right)\) (đẳng thức xảy ra khi x hoặc y = 0)
Rồi từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài toán.
