Theo bất đẳng thức cosi \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{1}{y}\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{1}{x}\times\frac{1}{y}}\)= \(\frac{2}{\sqrt{xy}}\)\(\ge\)\(\frac{2}{\frac{x+y}{2}}\)= \(\frac{4}{x+y}\)
Mà theo đầu bài ta có x + y = 2a
=> Min a = \(\frac{4}{x+y}\)= \(\frac{4}{2a}\)= \(\frac{2}{a}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}.\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4:\left(x+y\right)=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Vậy
Ta có BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (a,b > 0) (*)
Thật vậy,theo Cô si,ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\) (1)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (2)
Nhân theo vế hai BĐT (1) và (2) được: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
Chia cả hai vế cho a + b (khác 0).Ta được:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Vậy BĐT (*) là đúng.
Áp dụng BĐT (*),ta có: \(A\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
