Question

Cho x,y thỏa mãn: \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)

CMR: \(x^2+y^2=1\)

Answer 1

gt <=>   \(x\sqrt{1-y^2}=1-y\sqrt{1-x^2}\)

<=>   \(x^2\left(1-y^2\right)=1+y^2\left(1-x^2\right)-2y\sqrt{1-x^2}\)

<=>   \(x^2-x^2y^2=1+y^2-x^2y^2-2y\sqrt{1-x^2}\)

<=>   \(2y\sqrt{1-x^2}=y^2-x^2+1\)

<=>   \(4y^2\left(1-x^2\right)=\left(y^2-x^2+1\right)^2\)

<=>   \(4y^2-4x^2y^2=x^4+y^4+1-2x^2y^2-2x^2+2y^2\)

<=>   \(x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2-2y^2+1=0\)

<=>   \(\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1=0\)

<=>   \(\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1=0\)

<=>   \(\left(x^2+y^2-1\right)^2=0\)

<=>   \(x^2+y^2-1=0\)

<=>   \(x^2+y^2=1\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

Answer 2

Bài của Hermit thiếu điều kiện xác định + bài làm dài 

 \(-1\le x;y\le1\) theo bài ra ta có:

\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\left|x\right|\sqrt{1-y^2}+\left|y\right|\sqrt{1-y^2}\)

\(=\left|x\right|\sqrt{1-y^2}+\left|y\right|\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y^2+1-x^2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left|x\right|=\sqrt{1-y^2}\\\left|y\right|=\sqrt{1-x^2}\end{cases}\Leftrightarrow x^2=1-y^2\Leftrightarrow x^2+y^2=1\left(đpcm\right)}\)