Question

cho x,y thỏa mãn \(x\ge1,y\ge4\)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

\(Q=\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)

Answer 1

pt\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\)

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm ta có:

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{1\left(x-1\right)}\le\frac{x+1-1}{2}=\frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)(vì x dương)

\(\sqrt{y-4}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(y-4\right)}\le\frac{1}{2}.\frac{4+y-4}{2}=\frac{y}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}\le\frac{1}{4}\)(vì y dương)

\(\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Vậy \(Q\)max là \(\frac{3}{4}\)khi \(x=2,y=8\)