Question

cho x, y,z >0 và 1/x +1/y +1/z =4 chứng minh rằng 1/2x+y+z +1/x+2y+z +1/x+y +2z  =< 1 

Answer 1

+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:

\(x+x+y+z\ge4\sqrt[4]{x.x.y.z}\)

=> 2x + y + z \(\ge4\sqrt[4]{x.x.y.z}\)                  (1)

Với 4 số dương \(\frac{1}{x};\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\) ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4.\sqrt[4]{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}\)    (2)

Từ (1)(2) => \(\left(2x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4.\sqrt[4]{x.x.y.z}4.\sqrt[4]{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=16\)

=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (*)

Tương tự, ta có: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)   (**)

\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)                           (***)

Từ (*)(**)(***) => Vế trái \(\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}.4=1\)

=> đpcm

Answer 2

+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:

x+x+y+z≥44√x.x.y.z

=> 2x + y + z ≥44√x.x.y.z                  (1)

Với 4 số dương 1x ;1x ;1y ;1z  ta có: 1x +1x +1y +1z ≥4.4√1x .1x .1y .1z     (2)

Từ (1)(2) => (2x+y+z)(1x +1x +1y +1z )≥4.4√x.x.y.z4.4√1x .1x .1y .1z =16

=> 12x+y+z ≤116 .(2x +1y +1z ) (*)

Tương tự, ta có: 1x+2y+z ≤116 .(1x +2y +1z )   (**)

1x+y+2z ≤116 .(1x +1y +2z )                           (***)

Từ (*)(**)(***) => Vế trái ≤116 (4x +4y +4z )=14 .(1x +1y +1z )=14 .4=1

=> đpcm