Question

Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn: x+y+z=3. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

Answer 1

ta có 3x + yz = x² + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)

do đó:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)

= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm

Answer 2

hi minh ket ban nhe

Answer 3

m.imgur.com/a/ls9dmpn

Cậu chịu khó đánh máy nhé ! Tớ dùng đt nên nhác phải đánh text lắm :(((

Cách mình ngắn hơn trên khá nhìu nha !!!!

Answer 4

Từ \(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+yz\ge2\sqrt{yz}\)(*)

Dấu "=" xảy ra <=> x²=yz

Chỉ ra 3x+yz=(x+y+z)x+yz=z²+yz+x(y+z)\(\ge2x\sqrt{yz}+x\left(y+z\right)\)

=> \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{2x\sqrt{yz}+x\left(y+z\right)}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)(Áp dụng (*))

\(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\left(1\right)\)

Tương tự

\(\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\left(2\right);\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1