Question

Cho x, y. z \(\in\)R thỏa mãn : \(x+y+z\le3\)

Tìm giá trị lớn nhất của : \(P=\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\)

Answer 1

Quy đồng full:v

x = y = z = 1\(\rightarrow P=1\). Ta sẽ c/m đó là gtln của P. Thật vậy:

\(P-1=2\Sigma\frac{\left(x-1\right)}{x+2}=2\Sigma\left(\frac{x-1}{x+2}-\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{3}\left(x-1\right)\right)\)

\(=\Sigma\frac{-2\left(x-1\right)^2}{3\left(x+2\right)}+\frac{1}{3}\left(x+y+z-3\right)\le0\)

Do đó P \(\le1\). Vậy....

P/s: đúng không ta:3

Answer 2

ấy nhầm khúc cuối:v

\(=\Sigma\frac{-2\left(x-1\right)^2}{3\left(x+2\right)}+\frac{2}{3}\left(x+y+z-3\right)^2\le0\)

Từ đó suy ra ...

P/s: Mong là lần này không nhầm:)

Answer 3

\(\frac{2}{3}\left(x+y+z-3\right)^2\ge0\) mà em :) 

Cần đánh giá: \(\frac{x}{x+2}\le\frac{2}{9}x+\frac{1}{9}\) (*) 

Thật vậy, bđt (*) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{8x-2}{9\left(x+2\right)}\le\frac{2}{9}x\)\(\Leftrightarrow\)\(8x-2\le2x^2+4x\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng ) 

Tương tự với 2 ẩn y, z => \(P\le\frac{2}{9}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{3}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Answer 4

Phùng Minh Quân vl, em đánh láu lúc sửa lại bài làm thôi mà;( nhưng cách làm đúng không:P