Question

cho x, y, z dương và \(x^2+y^2+z^2=3\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(2\left(x+y+z\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Answer 1

Em có cách này nhưng không chắc

Ta sẽ c/m BĐT phụ sau:\(2x+\frac{1}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)^2}{2x}\le0\) (đúng) (ta chuyển hết VT sang vế phải rồi qui đồng lên)

Thiết lập hai BĐT tương tự và cộng theo vế ta tìm được Min

Answer 2

Nói thêm: Do x, y, z dương và \(x^2+y^2+z^2=3\Rightarrow0< x;y;z< \sqrt{3}\) (từ đây ta mới chứng minh được BĐT phụ đúng.