Anh xét hiệu P - 3/2 rồi làm như cách của em: Câu hỏi của Namek kian - Toán lớp 9 ạ ! Từ đó suy ra P >= 3/2. Hoặc có thể làm thẳng luôn như 4 bạn kia.
\(P=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)-3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}-3=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z\)
:))
tth giai thich cho anh tai sao cai cuoi lai lon hon hoac bang 0 di
Dạ thì ta có: (em viết theo đề (x;y;z) = (a;b;c) nha!Cho nó trùng đề với câu hỏi mak em gửi để dễ nhìn)
a + b > 0; b + c > 0; c+ a > 0; 2 >0 (điều này hiển nhiên do a,b,c > 0 và 2>0 cũng là điều hiển nhiên)
Rồi lại có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (dấu "=" xảy ra khi a = b)
Tương như vậy với mấy cái số còn lại và cộng theo vế là đc ạ.
Em nghĩ thế!
a=x+y; b=y+z; c=x+z
\(x=\frac{a+c-b}{2};y=\frac{a+b-c}{2};z=\frac{b+c-a}{2}\)
ta có \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{\frac{a+c-b}{2}}{b}+\frac{\frac{a+b-c}{2}}{c}+\frac{\frac{b+c-a}{2}}{a}\)
\(=\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}+\frac{b+c-a}{2a}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}\cdot6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
