Question

Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1. Tìm GTNN của biểu thức
M = \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\)

Answer 1

\(x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy\ge\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

(Áp dụng bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y+z\right);\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(z+x\right)\)

Suy ra \(M\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)