Bạn ngonhuminh, chứng minh chỗ (1) sai rồi nhé.
Khi gọi \(d=gcd\left(x-y,2\left(x+y\right)+1\right)\) thì lúc này chưa có \(d=1\).
Vậy \(y^2⋮d\) không suy ra được \(y⋮d\) đâu nha bạn.
Tuy nhiên lời giải có thể sửa lại dễ dàng như sau:
Giả sử \(x-y\) và \(2\left(x+y\right)+1\) không nguyên tố cùng nhau, tức là sẽ có ước NGUYÊN TỐ chung lớn nhất.
Gọi số đó là \(p\). Lúc này \(y^2⋮p\Rightarrow y⋮p\). CM tương tự của bạn suy ra \(p=1\) (vô lí).
Vậy \(x-y\) và \(2\left(x+y\right)+1\) nguyên tố cùng nhau.
\(2x^2+x=3y^2+y\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-y\right)\left\{2\left(x+y\right)+1\right\}=y^2\left(1\right)\\\left(x-y\right)\left\{3\left(x+y\right)+1\right\}=x^2\left(2\right)\end{cases}}\)
Vế trái là số Cp=> VP cũng phải là số CP
Trước hết Ta c/m hai thừa số VT là nguyên tố cùng nhau
(1) g/s d là ước lớn nhất của (x-y) và 2(x+y)+1 => y cũng phải chia hết d
\(2\left(x+y\right)+1-2\left(x-y\right)=3y+1\Rightarrow d=1\)
(2)g/s d là ước lớn nhất của (x-y) và 3(x+y)+1 => x cũng phải chia hết d
\(3\left(x+y\right)+1+3\left(x-y\right)=6x+1\Rightarrow d=1\)
=>VT là số Cp xẩy hai trường hợp
TH1: cả ba thừa số đó bằng nhau
\(\left(x-y\right)=2\left(x+y\right)+1=3\left(x+y\right)+1\)Nghiệm duy nhất x=y=0 => x-y=0; 2(x+y)+1=3(x+y)+1=1 đều là số Cp
TH2: Cả hai thừa số VT là số Cp (**)
(*) (**) Hiển nhiên đúng=> dpcm
y^2 phải chia hết cho d^2 nhé
=> y phải chia hết d
=> 2x2 - 2y2 + x - y = y2
=> 2(x2 - y2) + (x - y) = y2
=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y2
=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y2 là số chính phương (*)
Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau (**) vì:
Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1)
=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d
=> y2 = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d2 => y chia hết cho d
và (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y) chia hết cho d => 4y + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương
Tương tự: có 3y2 - 3x2 + y - x = -x2
=> 3(x2 - y2) + (x - y) = x2
=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x2
=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x2 là số chính phương
Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương
=> ĐPCM
