Question

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn:

x^2-2xy+x-2y nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Tìm GTLN của M=x^2-5y^2+3x

Answer 1

Từ \(x^2-2xy+x-2y\le0.\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(x+1\right)\le0\)(1). Do x;y là các số thực không âm nên x + 1 >0 nên từ (1) => \(0\le x\le2y\)

Với mọi \(0\le x\le2y\)thì \(x^2+3x\le\left(2y\right)^2+3\left(2y\right)=4y^2+6y\) 

Do đó, \(M=x^2-5y^2+3x\le4y^2-5y^2+6y=-y^2+6y-9+9=-\left(y-3\right)^2+9\le9\forall y\)

Vậy GTLN của M là: 9 khi y = 3 và x = 2y = 6.