Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
ʚĭɞ Thị Quyên ʚĭɞ

cho x, y là 2 số thực ko âm thỏa mãn

x2+y2=4. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M= \(\frac{xy}{x+y+2}\)

Hoàng Lê Bảo Ngọc
11 tháng 8 2016 lúc 13:35

M đạt giá trị lớn nhất <=> \(\frac{1}{M}\) đạt giá trị nhỏ nhất

Do đó, ta xét : 

\(\frac{1}{M}=\frac{x+y+2}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\), (dấu "=" xảy ra khi a = b) , ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Lại có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2}{xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{4}{4}=1\)

Suy ra \(\frac{1}{M}\ge\sqrt{2}+1\Rightarrow M\le\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\begin{cases}x=y\\x^2+y^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2}\)

Vậy Max M = \(\sqrt{2}-1\) tại \(x=y=\sqrt{2}\)


Các câu hỏi tương tự
ʚĭɞ Thị Quyên ʚĭɞ
Xem chi tiết
Phạm Thanh Trà
Xem chi tiết
Ngô Hồng Thuận
Xem chi tiết
Tung Nguyễn
Xem chi tiết
Linh Chi
Xem chi tiết
ʚĭɞ Thị Quyên ʚĭɞ
Xem chi tiết
Nguyễn Việt
Xem chi tiết
Ngọc Vĩ
Xem chi tiết
Cresent Moon
Xem chi tiết