Question

Cho x + y = 1. Tìm GTLN hoặc GTNN của P = xy - 7

Answer 1

Ta có : x + y = 1 => x = y - 1

=> P = (y - 1).y - 7 = y² - y - 7 = (y² - y - 1/4) - 27/4 = (y - 1/2)² - 27/4 \(\ge\)-27/4 \(\forall\)y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}y-\frac{1}{2}=0\\x=y-1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{2}\\x=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy Min P = -27/4 <=> x = -1/2 và y = 1/2

Answer 2

Edogawa Conan

Cách em làm ko sai. Nhưng em nhầm từ dòng đầu tiên nhé!

x + y = 1 => x = 1- y

Giải: 

Có: \(\left(x-y\right)^2\ge0,\forall x,y\)

<=> \(x^2+2xy+y^2\ge2xy,\forall x,y\)

<=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy,\forall x,y\)

=> \(P=xy-7\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-7=\frac{1}{4}-7=-\frac{27}{4}\)

"="  xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của P là -27/4 đạt tại x = y = 1/2.

Answer 3

Another way!Mặc dù khá phức tạp:v
\(2P=2xy-14=\left(x+y\right)^2-14-\left(x^2+y^2\right)\)

\(=-13-\left(x^2+y^2\right)\le-13-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=-\frac{27}{2}\)

\(\Rightarrow P\le-\frac{27}{4}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)