Giả sử x+y=z là một số hữu tỉ, khi đó ta có y=z-x
vì z và x thuộc Q nên z-x thuộc Q, do đó y thuộc Q. Điều này trái với đề bài.
Vậy x+y là số vô tỉ
Chứng minh tương tự x-y là số vô tỉ
Giả sử x.y=z là một số hữu tỉ, khi đó ta có y=z\x. Vì x, y thuộc Q nên z\x thuộc Q,
do đó y thuộc Q. Điều này trái với đề bài. Vậy x.y là một số vô tỉ
Chứng minh tương tự x:y là số vô tỉ