Question

cho x > 0, y>0 và x+y=1. Chứng minh : 8(x^4 + y^4)   +  \(\frac{1}{xy}\) \(\ge\)5

 

Answer 1

Áp dụng các bất đẳng thức sau (tự chứng minh)

\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

được \(8\left(x^4+y^4\right)\ge8\left[\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\right]=4\left(x^2+y^2\right)^2\ge4\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2=1\)

Lại có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow1\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)

Cộng 2 vế của 2 bđt trên lại ta đc đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = ¹/₂

Vậy .....