Question

Cho x ≥0; y ≥ 0; z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= x^2/y+z + y^2/x+z + z^2/x+y

Answer 1

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}\ge y\)

\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}\ge z\)

Cộng từng vế các bđt trên ta được:

\(P+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy Min P=1 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Answer 2

anh Châu ơi, 1+1+1 đâu có = 2 anh.

Answer 3

à anh xl nhầm x=y=z=\(\frac{2}{3}\)

Answer 4

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng Engel:

\(\text{Σ }_{cyc}\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\))

Answer 5

Có rất nhiều giải pháp cho bài này. calculus - $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \ge \frac{1}{2}(x+y+z)$ - Mathemas Stack Exchange (thay giả thiết vào là ổn)