a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A (giả thiết).
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)(định lí Py-ta-go).
\(\Rightarrow6^2+8^2=BC^2\)(thay số).
\(\Rightarrow BC^2=36+64=100\)
\(\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)(vì \(BC>0\)).
Xét \(\Delta ABC\)có phân giác BD (giả thiết).
\(\Rightarrow\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CB}\)(tính chất).
\(\Rightarrow\frac{AD}{CD+AD}=\frac{AB}{CB+AB}\)(tính chất của tỉ lệ thức).
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC+BA}\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{8}=\frac{6}{6+10}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)(thay số).
\(\Rightarrow AD=\frac{3}{8}.8=3\left(cm\right)\)
Do đó \(CD=AC-AD=8-3=5\left(cm\right)\)
Vậy \(AD=3\left(cm\right),CD=5\left(cm\right)\)
b) Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta HBA\)có:
\(\widehat{ABC}\)chung.
\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABC~\Delta HBA\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh).
b) (tiếp) \(\Rightarrow\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AB.AB=BC.BH\)
\(\Rightarrow AB^2=BC.BH\)(diều phải chứng minh).
c) \(\Delta ABC~\Delta HBA\)(theo câu b)).
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{HAB}\)(2 góc tương ứng).
\(\Rightarrow\widehat{DCB}=\widehat{IAB}\).
Xét \(\Delta ABI\)và \(\Delta CBD\)có:
\(\widehat{IAB}=\widehat{DCB}\)(chứng minh trên).
\(\widehat{ABI}=\widehat{CBD}\)(giả thiết).
\(\Rightarrow\Delta ABI~\Delta CBD\left(g.g\right)\)(diều phải chứng minh).
d) Xét \(\Delta ABH\)có phân giác BI ( \(I\in AH\)) (giả thiết).
\(\Rightarrow\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{BA}\)(tính chất) (1).
Vì \(\Delta ABC~\Delta HBA\)(theo câu b))
\(\Rightarrow\Delta HBA~\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)(tỉ số dồng dạng).
\(\Rightarrow\frac{BH}{BA}=\frac{AB}{BC}\)(tính chất của tỉ lệ thức) (2).
Ta lại có: \(\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}\) (theo câu a)) (3).
Từ (1), (2), (3).
\(\Rightarrow\frac{IH}{IA}=\frac{AD}{CD}\left(=\frac{AB}{BC}\right)\)(điều phải chứng minh).
