A. Để chứng minh rằng $\triangle ABH \sim \triangle CAH$, ta cần chứng minh tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.
Ta có:
Góc $\angle BAH$ là góc vuông, nên $\angle BAH = \angle CAH = 90^\circ$. Cạnh chung $AH$ của hai tam giác này có độ dài bằng nhau.Vậy, theo định lí góc - cạnh - góc, ta có:
$$\frac{AB}{AH} = \frac{10}{AH} = \frac{AH}{AC} = \frac{AH}{16}$$
Từ đó suy ra:
$$\frac{AB}{AH} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow \triangle ABH \sim \triangle CAH$$
B. Ta có:
Tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác $\triangle ABH$ và $\triangle ABC$ là:$$k = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$$
Tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác $\triangle CAH$ và $\triangle ABC$ là:$$k' = \frac{AC}{AB} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$$
Vậy, ta đã suy ra được tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của ba tam giác $\triangle ABH$, $\triangle CAH$ và $\triangle ABC$.
Do đó, ta có:
$$BC = AB \times k' = 10 \times \frac{8}{5} = 16$$
$$AH = AC \times k = 16 \times \frac{5}{8} = 10$$
C. Để tính diện tích của các tam giác này, ta sử dụng công thức:
$$S = \frac{1}{2} \times cạnh\ gần\ đáy \times độ\ cao$$
Diện tích của tam giác $\triangle ABH$ là:$$S_{ABH} = \frac{1}{2} \times AB \times AH = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\ cm^2$$
Diện tích của tam giác $\triangle CAH$ là:$$S_{CAH} = \frac{1}{2} \times AC \times AH = \frac{1}{2} \times 16 \times 10 = 80\ cm^2$$
Diện tích của tam giác $\triangle ABC$ là:$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 10 \times 16 = 80\ cm^2$$
