Question

Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH. Đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh: \(\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\) 

b) Gọi D và E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Chứng minh: AM \(\perp\)DE

Answer 1

a) Xét ∆ vuông ABC có 

AM là trung tuyến 

=> AM = BM = CM 

=> ∆AMC cân tại M 

=> MAC = MCA 

Xét ∆ABH có : 

BHA + BAH + ABH = 180° 

=> BAH + ABH = 90° 

Xét ∆ABC có : 

ABC + BCA + BAC = 180° 

=> ABC + ACB = 90° 

=> BAH = MCA 

Mà MAC = MCA (cmt)

=> BAH = MAC 

b) Gọi I là giao điểm DE và AH 

Xét tứ giác DHEA có : 

BAC = 90° (gt)

MDA = 90° ( MD\(\perp\)AB )

HEA = 90° ( HE\(\perp\)AC)

=> DHEA là hình chữ nhật 

=> I là trung điểm DE và HA 

=> DI = IA 

=> ∆IDA cân tại I

=> IDA = IAD (1)

Vì MAC = MCA (2) (cmt)

Ta có : 

DAI + MAC = 90° 

MCA + MAC = 90° 

=> DAI = MCA ( cùng phụ với MAC )(3)

Từ (1) (2)(3) 

=> DAI = MAC = MCA 

Vì I là trung điểm DE 

=> ∆IAE cân tại I 

=> IAE = IEA 

Gọi giao điểm DE,AM là O 

Xét ∆ADE có : 

DAE + ADE + DEA = 180° 

=> ADE + DEA = 90° .

Mà IAE = IEA (cmt)

MAC = ADI (cmt)

=> MAE + IEA = 90° 

Xét ∆IAE có : 

IAE + IEA + AIE = 180° 

=> AIE = 90° 

Hay AM \(\perp\)DE(dpcm)