Cho tam giác ABC vuông tại B. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C). Đường tròn đường kính EC cất cạnh AC tại M và cắt đường thẳng AE tại N (M khác C, N khác E). a. Chứng minh tứ giác ABNC nội tiếp. b. Chứng minh AE.AN + CE.CB = AC. c.Gọi K là giao điểm của AB và CN. Chứng minh 3 điểm E. M, K thẳng hàng
a: Gọi O là trung điểm của CE
=>O là tâm đường tròn đường kính CE
Xét (O) có
ΔCME nội tiếp
CE là đường kính
Do đó: ΔCME vuông tại M
=>EM\(\perp\)AC tại M
Xét (O) có
ΔCNE nội tiếp
CE là đường kính
Do đó: ΔCNE vuông tại N
=>CN\(\perp\)AN tại N
Xét tứ giác BACN có \(\widehat{CBA}=\widehat{CNA}=90^0\)
nên BACN là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAME vuông tại M và ΔANC vuông tại N có
\(\widehat{MAE}\) chung
Do đó: ΔAME~ΔANC
=>\(\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AE}{AC}\)
=>\(AE\cdot AN=AM\cdot AC\)
Xét ΔCME vuông tại M và ΔCBA vuông tại B có
\(\widehat{MCE}\) chung
Do đó: ΔCME~ΔCBA
=>\(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CE}{CA}\)
=>\(CE\cdot CB=CM\cdot CA\)
\(AE\cdot AN+CE\cdot CB\)
\(=AM\cdot AC+CM\cdot CA\)
\(=AC\left(AM+CM\right)=AC^2\)
c: Xét ΔKCA có
CB,AN là các đường cao
CB cắt AN tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔKCA
=>KE\(\perp\)CA
mà EM\(\perp\)CA
và KE,EM có điểm chung là E
nên K,E,M thẳng hàng
