Question

Cho tam giác ABC vuông tại B, có AB = 5cm. BC = 12cm. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 4cm.

a) Tính độ dài cạnh AC,

b) Chứng minh ΔEAD cân.

c) Tia AE cắt DC tại K. Chứng minh: K là trung điểm của đoạn DC.

d) Chứng minh: AD < 4EK.

Answer 1

a) AC = ? 

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC²

        = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 

⇒ AC = 13 (cm)

b) ΔEAD cân

Xét hai tam giác vuông ABE và DBE có:

AB = BD (gt)

BE là cạnh chung

Do đó: ΔABE = ΔDBE (hai cạnh góc vuông)

⇒ EA = ED (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔEAD cân tại E.

c) K là trung điểm của DC.

Ta có: BE = 4, BC = 12 

⇒ BE = ¹/₃ BC 

Hay E là trọng tâm của ΔACD.

⇒ AE là đường trung tuyến ứng với cạnh DC

⇒ K là trung điểm của DC.

d) AD < 4EK 

Ta có: EA > AB, ED > BD

Mà AD = AB + BD,     AE = ED (câu b)

⇒ 2AE > AD 

Và EK = ¹/₂EA , nhân 2 vế cho 4. Ta được: 4EK = 2EA 

Vì 2AE > AD (cmt), 4EK = 2EA ⇒ 4EK > AD (đpcm)

Answer 2