Question

cho tam giác ABC vuông tại A,AB<AC.Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD.a)Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD;b)Vẽ BM vuông góc với DC tại M,BM cắt AC tại H.Vẽ HN vuông góc với BC tại N.Chứng minh tam giác CMN cân và MN//BD;c)So sánh HB và HM

Answer 1

  

a) Do A là trung điểm của BD (gt)

⇒ CA là đường trung tuyến của ∆CBD (1)

Lại có:

CA ⊥ AB (∆ABC vuông tại A)

⇒ CA ⊥ BD

⇒ CA là đường trung trực của ∆CBD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∆CBD cân tại C

⇒ CA là đường phân giác của ∆CBD

⇒ CA là tia phân giác của ∠BCD

b) Do CA là tia phân giác của ∠BCD (cmt)

⇒ ∠BCA = ∠DCA

⇒ ∠NCH = ∠MCH

Xét hai tam giác vuông: ∆MCH và ∆NCH có:

CH là cạnh chung

∠MCH = ∠NCH (cmt)

⇒ ∆MCH = ∆NCH (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ CM = CN (hai cạnh tương ứng)

⇒ ∆CMN cân tại C

Do CM = CN (cmt)

⇒ C nằm trên đường trung trực của MN (3)

Do ∆CMH = ∆CNH (cmt)

⇒ HM = HN (hai cạnh tương ứng)

⇒ H nằm trên đường trung trực của MN (4)

Từ (3) và (4) ⇒ CH là đường trung trực của MN

⇒ CH ⊥ MN

⇒ CA ⊥ MN

Mà CA ⊥ BD (cmt)

⇒ MN // BD

c) ∆BHN vuông tại N

⇒ HB là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất

⇒ HB > HN

Mà HM = HN (cmt)

⇒ HB > HM