Question

Cho tam giác ABC vuông tại A với BD là đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt tia BD tại E. CMR chi vi tam giác ABD nhỏ hơn tam giác CDE 

Answer 1

Kẻ \(DH\perp BC\) tại H

Ta có: \(\hept{\begin{cases}AB\perp AC\\EC\perp AC\end{cases}\Rightarrow AB//CE\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BEC}}\)

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{EBC}\left(=\widehat{ABD}\right)\)

=> tam giác BEC cân tại  C

=> BC=CE

Tam giác BDA = TAM GIÁC BDH => AD=DH

Mà DH<DC (vì DH vuông góc với HC)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ta có:

\(BD^2=AB^2+AD^2;DE^2=CE^2+CD^2\)

Ta có: AB<BC=CE

VÀ AD<DC(DH<DC)

\(\Rightarrow BD^2< DE^2\Rightarrow BD< DE\)

Vậy chu vi tam giác ABD<  chu vi tam giác CDE (đpcm)