Question

Cho tam giác ABC vuông tại A  , trung tuyến AM .Lấy N đối xứng với M qua AB .Gọi H là giao điểm của AB và MN . Chứng minh 

a, MN//AC

b, HA=HB, MN=AC

c, ACBN là hình thang 

Answer 1

a/ - Do N đối xứng với M qua AB => AB là đường trung trực của MN hay  AB ⊥ MN
- AB ⊥ AC (△ABC vuông tại A)
=> MN // AC (đpcm)

b/ Xét △HBM và △HBN :
- HB chung
- Góc BHM = Góc BHN = 90^o (gt)
 - HN = HM (gt)
=> △HBM = △HBN (c.g.c)
=> BN = BM 
Tứ giác ANBM có BN = BM hay hai cạnh kề bằng nhau => Tứ giác ABNM là hình thoi
Vậy : HA = HB (đpcm)
- Do tứ giác ANBM là hình thoi => AN = BM
Mà BM = CM (trung tuyến AM) => AN = MC (1)
Hình thoi ANBM có AN // BM => AN // MC (2)
Từ (1) và (2), suy ra tứ giác ANMC là hình bình hành
Vậy MN = AC (đpcm)

c/ Do AN // MB (ABNM là hình thoi), AN // MC (cmt)
=> AN // BC 
Vậy: Tứ giác ACBN là hình thang (đpcm).

Answer 2

Answer 3

a) Ta có: NM⊥AB(gt)

AC⊥AB(gt)

Do đó: MN//AC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

b) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

MH//AC(cmt)

Do đó: H là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Suy ra: HA=HB

Xét ΔBAC có 

H là trung điểm của AB(cmt)

M là trung điểm của BC(gt)

Do đó: HM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: \(HM=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà \(HM=\dfrac{MN}{2}\)(H là trung điểm của MN)

nên AC=MN