Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ . Kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QF = QH, Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF

Answer 1

Xét tam giác vuông FQA và tam giác vuông HQA:

QA chung

FQ = HQ

=>  tam giác FQA = tam giác HQA (2 cạnh góc vuông)                                           (1)

=> QAF = QAH (2 góc tương ứng)

Xét tam giác vuông HPA và tam giác vuông EPA:

AP chung

PH = PE 

=> tam giác HPA = tam giác EPA (2 cạnh góc vuông)                                         (2)

=> HAP = EAP (2 góc tương ứng)

Ta có: QAH + PAH =QAP =90o

và FAQ + QAH + HAP +PAE= 2 * QAH + 2* HAP = 2 (QAH + HAP) = 2* 90o = 180o

=> E, A, F thẳng hàng

Ta có: 

HP _|_ AB; CA _|_ AB  =>HP // AB

=> QAH = PHA (sole trong)

Xét tam giác vuông AQH và tam giác vuông HPA:

AH chung

QAH = PHA

=>  tam giác AQH = tam giác HPA (cạnh huyền_ góc nhọn)                           (3)

 Từ (1), (2), (3) => tam giác FQA = tam giác APE => AF= AE (2 cạnh tương ứng)

Mà E, A, F là 3 điểm thẳng hàng => A nằm giữa E và F.

Vậy E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF