cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH . gọi I và K lần lượt là hình chiếu củ điểm H trên AB và AC .
a) CM :\(HI\perp HK\)
b) CM : IA = HK
c) CM : IK = AH
d) gọi O là giao điểm của AH và IK . CM OI = OK = OA = OH
e) nếu tam giác ABC vuông cân tại A , CM
1) I , K lần lượt là trung điểm của AB và AC
2) IK // BC
f) gọi M là trung điểm của cạnh BC , biết AM = \(\frac{1}{2}BC\) . CM : \(AM\perp KI\)
a) Xét tứ giác AIHK có \(\widehat{AIH}+\widehat{IAK}+\widehat{AKH}=270^o\Rightarrow\widehat{IHK}=90^o\)
Vậy nên \(HI\perp HK\)
b) Do IA và HK cùng vuông góc với AC nên IA // HK
Vậy thì \(\widehat{IAH}=\widehat{KHA}\) (So le trong)
Xét tam giác IAH và tam giác KHA có:
\(\widehat{AIH}=\widehat{HKA}=90^o\)
Cạnh AH chung
\(\widehat{IAH}=\widehat{KHA}\)
\(\Rightarrow\Delta AIH=\Delta HKA\) (Cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow IA=HK.\)
c) Xét tam giác IAH và tam giác HKI có:
\(\widehat{AIH}=\widehat{KHI}=90^o\)
Cạnh IH chung
\(IA=HK\)
\(\Rightarrow\Delta AIH=\Delta KHI\) (Hai cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow AH=IK.\)
d) Ta thấy ngay các cặp góc so le trong bằng nhau nên \(\Delta IOA=\Delta KOH\left(g-c-g\right)\Rightarrow OI=OK,OA=OH\)
Xét tam giác vuông IAH có IO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OH = OA = OI.
Vậy nên OA = OI = OH = OK.
e)
1. Nếu tam giác ABC cân thì AH là đường cao đồng thời trung tuyến. Vậy thì AH = BH = CH.
Xét tam giác cân BHA có HI là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy nên I là trung điểm AB.
Hoàn toàn tương tự ta có K là trung điểm AC.
2. Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(\widehat{ACB}=45^o\)
IA = AB/2; AK = AC/2 mà AB = AC nên AI = AK.
Vậy thì tam giác IAK cũng vuông cân tại A.
Vậy nên \(\widehat{AKI}=45^o\)
Từ đó ta có \(\widehat{AKI}=\widehat{ACB}=45^o\)
Chúng lại ở vị trí đồng vị nên suy ra IK // BC.
f) Ta có AM = MC nên \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)
Lại có \(\widehat{MCA}=\widehat{AHK}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{KHC}\) )
Suy ra \(\widehat{MAC}=\widehat{AHK}\)
Lại có \(\widehat{OKA}=\widehat{OHA}\)
Vậy nên \(\widehat{MAK}+\widehat{OKA}=\widehat{AHK}+\widehat{IHA}=90^o\)
Gọi J là giao điểm của AM và IK thì \(\widehat{AJK}=90^o\) hay \(KI\perp AM\)
