a: Xét ΔCAB có
E,D lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>ED là đường trung bình của ΔCAB
=>ED//AB và \(ED=\dfrac{AB}{2}\)
Ta có: ED//AB
AB\(\perp\)AC
Do đó: ED\(\perp\)AC tại E
=>CA\(\perp\)FD tại E
Xét ΔCFD vuông tại C có CE là đường cao
nên \(FE\cdot FD=CF^2\left(1\right)\)
Xét ΔCFB vuông tại C có CH là đường cao
nên \(FH\cdot FB=FC^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(FE\cdot FD=FH\cdot FB\)
b: Xét tứ giác AHCB có
\(\widehat{CHB}=\widehat{CAB}=90^0\)
=>AHCB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>\(\widehat{HCA}=\widehat{HBA}\)
=>\(\widehat{ABH}=\widehat{ECH}\)
Xét ΔCHB vuông tại H và ΔFCB vuông tại C có
\(\widehat{CBH}\) chung
Do đó: ΔCHB đồng dạng với ΔFCB
=>\(\dfrac{HB}{CB}=\dfrac{HC}{FC}\)
=>\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{CB}{FC}\left(1\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A và ΔECF vuông tại E có
\(\widehat{ACB}=\widehat{EFC}\left(=90^0-\widehat{CDF}\right)\)
Do đó: ΔABC đồng dạng với ΔECF
=>\(\dfrac{AB}{CE}=\dfrac{BC}{CF}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{AB}{CE}\)
Xét ΔABH và ΔECH có
\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{AB}{CE}\)
\(\widehat{HBA}=\widehat{HCE}\)
Do đó: ΔABH đồng dạng với ΔECH
