Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Điệp Đỗ

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HE, HF lần lượt là các đường cao của tam giác AHB, AHC.

a)chứng tỏ:BC2 = 3AH2+BE2+CF2

b)giả sử BC=2a là độ dài cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của BE2+CF2

 

Thiên An
30 tháng 7 2017 lúc 11:17

Hình thì e tự vẽ nha

a)  Dễ dàng c/m đc AEHF là hcn => AH = EF

Áp dụng hệ thức lượng ta có

\(BC^2=\left(BH+CH\right)^2=BH^2+CH^2+2AH.BH\)

\(=BE^2+HE^2+CF^2+HF^2+2AH^2=BE^2+CF^2+2AH^2+\left(HE^2+HF^2\right)\)

\(=BE^2+CF^2+2AH^2+EF^2=BE^2+CF^2+2AH^2+AH^2\)

\(=BE^2+CF^2+3AH^2\)

b)  \(\Delta ABH\)  có  \(BE=\frac{BH^2}{AB}\)  \(\Rightarrow BE^2=\frac{BH^4}{AB^2}\)

Tương tự  \(CF^2=\frac{CH^4}{AC^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và BĐT  \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

Do đó  \(BE^2+CF^2=\frac{BH^4}{AB^2}+\frac{CH^4}{AC^2}\ge\frac{\left(BH^2+CH^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\ge\frac{\left[\frac{\left(BH+CH\right)^2}{2}\right]^2}{BC^2}=\frac{\left[\frac{BC^2}{2}\right]^2}{BC^2}\)

\(=\frac{\frac{BC^4}{4}}{BC^2}=\frac{BC^2}{4}=\frac{\left(2a\right)^2}{4}=a^2\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow BH=CH\)  hay H là trung điểm BC.

Như vậy AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

=> Tam giác ABC vuông cân tại A.

p/s: làm lụi thôi nha, ko bt đúng ko nữa. Đúng thì cho mk 1 k nha

Điệp Đỗ
30 tháng 7 2017 lúc 14:21

cảm ơn nha làm lụi nhưng chắc đúng đó


Các câu hỏi tương tự
Hanh Nguyen
Xem chi tiết
Nhật Minh
Xem chi tiết
Phan Lương
Xem chi tiết
Hòa Lê Minh
Xem chi tiết
lethaianh
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Minh
Xem chi tiết
Mai Hương
Xem chi tiết
nguyen hieu
Xem chi tiết
Dang The Cong
Xem chi tiết