a:
Gọi O là trung điểm của CD
=>O là tâm đường tròn đường kính CD
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCED vuông tại E
=>DE\(\perp\)EC tại E
=>DE\(\perp\)CB tại E
Xét tứ giác ABED có
\(\widehat{BAD}+\widehat{BED}=90^0+90^0=180^0\)
=>ABED là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác AECF có
\(\widehat{CAF}=\widehat{CEF}=90^0\)
=>AECF là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔFAD vuông tại A và ΔFEB vuông tại E có
\(\widehat{AFD}\) chung
Do đó: ΔFAD~ΔFEB
=>\(\dfrac{FA}{FE}=\dfrac{FD}{FB}\)
=>\(FA\cdot FB=FD\cdot FE\)
c: Xét (O) có
ΔCKD nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCKD vuông tại K
=>DK\(\perp\)CK tại K
=>DK\(\perp\)FC tại K
Xét ΔBCF có
CA,FE là các đường cao
CA cắt FE tại D
Do đó: D là trực tâm của ΔBCF
=>BD\(\perp\)CF
Ta có: BD\(\perp\)CF
DK\(\perp\)CK
BD,DK có điểm chung là D
Do đó: B,D,K thẳng hàng
Xét tứ giác FKDA có \(\widehat{FAD}+\widehat{FKD}=90^0+90^0=180^0\)
nên FKDA là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CKDE có \(\widehat{CKD}+\widehat{CED}=90^0+90^0=180^0\)
nên CKDE là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{EKD}=\widehat{ECD}\)(CKDE là tứ giác nội tiếp)
\(\widehat{AKD}=\widehat{AFD}\)(ADKF là tứ giác nội tiếp)
mà \(\widehat{ECD}=\widehat{AFD}\left(=90^0-\widehat{EBF}\right)\)
nên \(\widehat{EKD}=\widehat{FKD}\)
=>KD là phân giác của góc AKE
Ta có: \(\widehat{KED}=\widehat{KCD}\)(CKDE là tứ giác nội tiếp)
\(\widehat{AED}=\widehat{ABD}\)(ABED là tứ giác nội tiếp)
mà \(\widehat{KCD}=\widehat{ABD}\left(=90^0-\widehat{CFA}\right)\)
nên \(\widehat{KED}=\widehat{AED}\)
=>ED là phân giác của góc KEA
Xét ΔKEA có
ED,KD là các đường phân giác
ED cắt KD tại D
Do đó: D là tâm đường tròn nội tiếp ΔKAE
