Ta có
\(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)
\(\Rightarrow BC=2AB\)
\(\Rightarrow\sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{ACB}=30^o\)
Ta có
\(AC=AD+CD=4+8=12\)
\(AB^2=BC^2-AC^2=4AB^2-12^2\) (Pitago)
\(\Rightarrow AB=4\sqrt{3}\Rightarrow BC=2AB=8\sqrt{3}\)
\(AB^2=BH.BC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{48}{8\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\)
Xét tg vuông ABC có
\(\widehat{ABC}=90^o-\widehat{ACB}=90^o-30^o=60^o\)
Ta có
\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=30^o\)
Xét tg vuông HKB và tg vuông ABC có
\(\widehat{CBD}=\widehat{ACB}=30^o\)
=> tg HKB đồng dạng với tg ABC
\(\Rightarrow\dfrac{HK}{AB}=\dfrac{BH}{AC}\Rightarrow\dfrac{HK}{4\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{12}\)
\(\Rightarrow HK=\dfrac{4\sqrt{3}.2\sqrt{3}}{12}=2\)
Xét tg vuông AHC có
\(AH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.12=6\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc \(30^o\) bằng nửa cạnh huyền)
\(\Rightarrow AK=AH-HK=6-2=4\)
