Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB, từ B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN kéo dài tại I. CM: MN // AC và \(IB^2=IM\times IN\)

b) Gọi O là giao điểm của IC và AH. CM: O là trung điểm của AH

Giúp e với ạ, e cảm ơn nhé!!

Answer 1

a: Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC
mà AC⊥AB tại A

nên MN⊥AB tại N

Xét ΔMBI vuông tại B có BN là đường cao

nên \(IB^2=IM\cdot IN\)

b: Gọi K là giao điểm của BI và CA

Ta có: AH⊥BC

BK⊥BC

Do đó: AH//BK

Xét ΔIAB có

IN là đường cao

IN là đường trung tuyến

Do đó: ΔIAB cân tại I

=>\(\hat{IAB}=\hat{IBA}\)

Ta có: \(\hat{IAB}+\hat{IAK}=\hat{BAK}=90^0\)

\(\hat{IBA}+\hat{IKA}=90^0\) (ΔABK vuông tại A)

mà \(\hat{IAB}=\hat{IBA}\)

nên \(\hat{IAK}=\hat{IKA}\)

=>IA=IK

mà IA=IB

nên IK=IB(1)

Xét ΔCKI có OA//IK

nên \(\frac{OA}{IK}=\frac{CO}{CK}\left(2\right)\)

Xét ΔCIB có OH//IB

nên \(\frac{OH}{IB}=\frac{CO}{CI}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra AO=OH

=>O là trung điểm của AH