Question

cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=15cm, AC=20cm và đường cao AH.từ H kẻ HM ,HN lần lượt vuông góc với AB,AC. gọi k là trung điểm BC.I là giao điểm AK và MN. cm a) tam giác ABH đồng dạng CBA. tính BC,AH b) cm AK vuông góc MN C) tính S tam giác AIM 

Answer 1

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔABH~ΔCBA

 ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{15^2+20^2}=25\left(cm\right)\)

ΔABH~ΔCBA

=>\(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{AB}{CB}\)

=>\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{15\cdot20}{25}=\dfrac{300}{25}=12\left(cm\right)\)

b: ΔABC vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên AK=KB=KC

Xét ΔKAC có KA=KC

nên ΔKAC cân tại K

=>\(\widehat{KAC}=\widehat{KCA}\)

Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{AHM}\)

mà \(\widehat{AHM}=\widehat{ABC}\)

nên \(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{ANM}+\widehat{KAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>AK\(\perp\)MN tại I