Cho tam giác ABC vuông tại A ,AB =9 cm ,AC=12 cm . a/Tính BC b/P/g góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc BC tại E.Chứng minh tam giác ABD=tam giác EBD c/Gọi giao điểm DE và AB là I.C/m tam giác BIC cân d/Kẻ BD cắt IC tại K.Gọi P,Q lần luợt là trung điểm của BC và BI.Biết rằng BK cắt IP tại H. C/m C,H,Q thẳng hàng
a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=9^2+12^2=225\)
hay BC=15(cm)
Vậy: BC=15cm
b) Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có
BD chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))
Do đó: ΔABD=ΔEBD(Cạnh huyền-góc nhọn)
c) Ta có: ΔABD=ΔEBD(cmt)
nên BA=BE(hai cạnh tương ứng) và DA=DE(Hai cạnh tương ứng)
Xét ΔADI vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có
DA=DE(cmt)
\(\widehat{ADI}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔADI=ΔEDC(Cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
Suy ra: AI=EC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: BA+AI=BI(A nằm giữa B và I)
BE+EC=BC(E nằm giữa B và C)
mà BA=BE(cmt)
và AI=EC(cmt)
nên BI=BC
Xét ΔBIC có BI=BC(cmt)
nên ΔBIC cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)
d) Ta có: ΔADI=ΔEDC(cmt)
nên DI=DC(Hai cạnh tương ứng)
Ta có: BI=BC(cmt)
nên B nằm trên đường trung trực của IC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: DI=DC(cmt)
nên D nằm trên đường trung trực của IC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của IC
\(\Leftrightarrow BD\perp IC\)
\(\Leftrightarrow BK\perp IC\)
Xét ΔBIK vuông tại K và ΔBCK vuông tại K có
BI=BC(cmt)
BK chung
Do đó: ΔBIK=ΔBCK(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: KI=KC(Hai cạnh tương ứng)
hai K là trung điểm của IC
Xét ΔBIC có
BK là đường trung tuyến ứng với cạnh IC
IP là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
BK cắt IP tại H
Do đó: H là trọng tâm của ΔBIC(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
Suy ra: CH là đường trung tuyến ứng với cạnh BI
mà CQ là đường trung tuyến ứng với cạnh BI
và CH,CQ có điểm chung là C
nên C,H,Q thẳng hàng(đpcm)
