Question

cho tam giác abc vuông ở a,có đường phân giác BD.Kẻ AE vuông góc BD (E thuộc BD),AE cắt BC ở F

a> Chứng minh ABF là tam giác cân?

b>Chứng minh DF vuông góc BC

c>Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) Chứng minh rằng AF là tia phân giác góc HAC

d> Gọi I là giao điểm của AB và FD. Chứng minh DI = DC

Answer 1

a, xét tam giác ABE và tam giác FBE có : BE chung

góc ABE = góc FBE do BD là phân giác của góc ABC (gt)

góc AEB = góc FEB = 90 

=> tam giác ABE = tam giác FBE (ch-gn)

=> AB = BF (đn)

=> tam giác ABF cân tại B (đn)

b, xét tam giác ABD và tam giác FBD có : BD chung

góc ABD= góc FBD (Câu a)

AB = FB (Câu a)

=> tam giác ABD = tam giác FBD (c-g-c)

=> góc DFB = góc DAB  (đn)

góc DAB = 90 

=> góc DFB = 90

=> DF _|_ BC 

c, có  tam giác ABD = tam giác FBD  (Câu b)

=> AD = DF (đn)

=> tam giác DFA cân tại D (đn)

=> góc DFA = góc DAF (đn)                            (1)

góc DF _|_ BC 

AH _|_ BC

=> DF // AH (tc)

=> góc DFA = góc FAH (so le trong)   và (1)

=> góc DAF = góc FAH 

có AF nằm giữa AC và AH 

=> AF là phân giác của góc HAC (đn)

d, cm : tam giác CDF = tam giác IDA (cgv-gnk)

=> IA = CF

CM : BC = BI

CM : tam giác  DBI = tam giác DBC 

=> ...

Answer 2

a, Ta có: Góc AEB = 90^o (AE vuông góc với BD tại E) , Góc BEF = 90^o (AE vuông góc với BD tại E)

Xét tam giác ABE và tam giác FBE, có

BE chung

Góc ABE = FBE (BD là phân giác của góc ABF)

Góc AEB = BEF (cùng = 90^o)

=> Tam giác ABE = FBE (g.c.g)

=> AB = BF (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABF cân tại B (Định nghĩa tam giác cân)

    

Answer 3

b, Xét tam giác ABD và tam giác FBD, có:

AB = BF (chứng minh trên)

BD chung

ABD = FBD (chứng minh trên)

=> Tam giác ABD = FBD (c.g.c)

=> Góc BAD = Góc BFD (2 góc tương ứng)

Mà góc BAD = 90^o (tam giác ABC vuông tại A)

=> góc BFD = 90^o

^{Vậy FD vuông góc với BC (định nghĩa 2 đt vuông góc)}

Answer 4

a ) Xét tam giác vuông \(ABE\)và tam giác vuông \(KBE\)có :

Cạnh \(BE\)chung .

\(DBA=DBK\)hay \(EBA=EBA\)( vì \(BD\)là phân giác của góc \(ABC\))
\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta KBE\)( cạnh góc vuông - góc nhọn )

\(\Rightarrow BA=BK\)

Vậy \(\Delta ABK\)cân tại \(B\)

b ) Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta KBD\)có :

\(AB=BK\)

\(ABD=KBD\)

Cạnh  \(BD\)chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta KBD\)( c.g.c )

\(\Rightarrow DKB=DAB=90^o\)

Vậy \(DK\perp BC\).

c ) Xét \(\Delta ABI\)và \(\Delta KBI\)có :

\(BA=BK\)

\(ABI=FBI\)

Cạnh \(BF\)chung 

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta KBI\)( c.g.c )
\(\Rightarrow IA=IK\)

Ta có : \(DA=DK,IA=IK\)là đường trung trực của \(AK\)

\(\Rightarrow AE=EK\)

Có \(DK\perp BC,AH\perp BC\)\(\Rightarrow\)\(DK//AH\)

\(\Rightarrow DKE=EAI\)( 2 góc so le trong )

Xét tam giác vuông \(DKE\)và tam giác vuông \(EAI\)có :

\(AE=EK\)

\(DKE=EAI\)

\(\Rightarrow\Delta DKE=\Delta EAI\)( cạnh góc vuông - góc nhọn )

\(\Rightarrow DK=AI\)

Mà \(DK=DA\)

\(\Rightarrow AI=AD\)

Xét tam giác vuông \(DAE\)và tam giác vuông \(IAE\)có :

\(DA=DI\)

Cạnh \(AE\)chung 

\(\Rightarrow\Delta DAE=\Delta IAE\)( cạnh huyền -  cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow DAE=EAI\)hay góc \(CAK\)= góc \(KAH\)

Vậy \(AK\)là phân giác của \(HAC\)

Xét tam giác vuông \(IKE\)và tam giác vuông \(EAD\)  có :

\(AE=EK\)

\(KEI=AED\)(  2 góc đối đỉnh )
\(\Rightarrow\Delta IKE=\Delta EAD\)( cạnh góc vuông - góc nhọn )

\(\Rightarrow IKE=EAD\)

Mà \(IKE\)và  \(EAD\)là 2 góc so le trong .

\(\Rightarrow IK//AC\)