Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại C, trung tuyến  AM.Qua C, kẻ đg thẳng vuông góc  vs AM cắt AB tại D. C/m AD = 2BD

Answer 1

Giả sử CD cắt AM tại H 
Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại P 
Ta có: 
tg CHM = tg BMP 
=> HM=MP 
Do BP// CD => AD/AB = AH/AP (*) 

Giả sử AC =a 
Mặt khác xét tg vuông ACM, đường cao CH ta có: 
1/CH^2 = 1/AC^2 + 1/CM^2 = 1/a^2 + 1/(a/2)^2 = 5/a^2 
=> CH^2 = a^2/5 
Do CH^2 = AH.HM 
=> AH.HM = a^2/5 (**) 
mà AC^2 = AH.AM =a^2 (***) 

Chia (**) và (***) => HM/AM = 1/5 
=> HM = AM/5 
=> HP/2 = (AP -MP)/5 = (AP -HP/2)/5 

=> HP = 1/3AP => AH = 2/3AP 
Từ (*) => AD/AB =2/3 => AD= 2AB/3 
=> DB= AB/3 
=> AD = 2BD