Question

cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc cạnh AB (D khác A,B). Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD tại H đường thẳng BH cắt đường thẳng CA tại E. Chứng minh rằng 

a, tứ giác AHBC nội tiếp.

b. EA.EC=EH.EB. 

c. AD=AE

Answer 1

a/ A và H cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông => A và H nằm trên cùng 1 đường tròn đường kính BC

=> Tứ giác AHBC là tứ giác nội tiếp

b/ Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông HCE có

BE vuông góc với CH

AB vuông góc với CE

=> ^ABE=^HCE (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

=> tam giác ABE đồng dạng với tam giác HCE

=> \(\frac{EA}{EH}=\frac{EB}{EC}\Rightarrow EA.EC=EH.EB\)

c/ Xét tam giác EBC có

BA vuông góc CE

CH vuông góc với BE

=> D là trực tâm của tam giác EBC => ED là đường cao của tam giác EBC => ED vuông góc với BC

Ta có:

ED vuông góc với BC

CE vuông góc với AB

=> ^CED = ^ABC (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

^ABC=^ACB=(180 -  ^BAC)/2 = 45

=> ^CED=45

Xét tam giác vuông ADE có ^ADE=(180 - CED - DAE) = (180 - 45 - 90) = 45

=> ^CED = ^ADE

=> Tam giác ADE cân tại A => AD=AE