Question

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD= 2/3 BC, M là trung điểm của đoạn thẳng AD, điểm N thoả mãn điều kiện vectơ AN = 2/5 vectơ AC. Chứng minh 3 điểm B , M ,N thẳng hàng.

Answer 1

Xét ΔBAD có BM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{6}\left(5\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{5}{6}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\)

=>\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{5}{6}\cdot\overrightarrow{BN}\)

=>B,M,N thẳng hàng