Question

cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, E,F. Đặt S_AEF= a, S_BDF = b, S_CDE = c, S_ABC = S. Kẻ FH vuông góc với AC, BK vuông góc với AC. Chứng minh: a.b.c ≤ 1/64.S³

Answer 1

Đặt \(AF=x.AB\) ; \(AE=y.AC\) ; \(BD=z.BC\) (với \(0< x;y;z< 1\))

Do FH song song BK, áp dụng Talet: \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{FH}{BK}\Rightarrow FH=\dfrac{AF}{AB}.BK=x.BK\)

Ta có: \(a=\dfrac{1}{2}FH.AE=\dfrac{1}{2}.x.BK.y.AC=xy.\left(\dfrac{1}{2}BK.AC\right)=xy.S\)

Tương tự: \(b=\left(1-x\right)z.S\) ; \(c=\left(1-y\right)\left(1-z\right)S\)

\(\Rightarrow abc=xyz\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right).S^3\)

\(=x\left(1-x\right).y\left(1-y\right)z.\left(1-z\right).S^3\)

\(\le\dfrac{1}{4}\left(x+1-x\right).\dfrac{1}{4}\left(y+1-y\right).\dfrac{1}{4}\left(z+1-z\right)S^3=\dfrac{1}{64}S^3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\) hay D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh tương ứng