\(\left(\frac{ID}{AD}+\frac{IE}{BE}+\frac{IF}{CF}\right)\left(\frac{AD}{ID}+\frac{BE}{IE}+\frac{CF}{IF}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{ID}{AD}}\sqrt{\frac{AD}{ID}}+\sqrt{\frac{IE}{BE}}\sqrt{\frac{BE}{IE}}+\sqrt{\frac{IF}{CF}}\sqrt{\frac{CF}{IF}}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{ID}+\frac{BE}{IE}+\frac{CF}{IF}\ge\left(1+1+1\right)^2\Leftrightarrow\frac{IA+ID}{ID}+\frac{IB+IE}{IE}+\frac{IC+IF}{IF}\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{IA}{ID}+\frac{IB}{IE}+\frac{IC}{IF}\ge6\)
Bạn ko hiểu chỗ nào thì hỏi mình nhé!
Gọi S1,S2,S3 ,Slần lượt là diện tích tam giác IBC,ICA,IAB,ABC. Vẽ AH vuông góc BC tại H ; IK vuông góc BC tại K thì AH // IK
Áp dụng định lí Ta-lét và tỉ số diện tích tam giác,ta có :\(\frac{ID}{AD}=\frac{AH}{IK}=\frac{S_1}{S}\).Tương tự :\(\frac{IE}{BE}=\frac{S_2}{S};\frac{IF}{CF}=\frac{S_3}{S}\)
\(\Rightarrow\frac{ID}{AD}+\frac{IE}{BE}+\frac{IF}{CF}=\frac{S_1+S_2+S_3}{S}=1\).Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-ski và cmt,ta có :
bảo mày học dốt thật bấy nhiêu mà giải cũng không được nghỉ học cho rồi
Theo bđt Bunyakovsky dành cho 2 bộ ba số a,b,c và x,y,z : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2)\(\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
(Dấu = xảy ra khi\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)).Thay các giá trị trong bài theo vị trí tương ứng với bđt trên,ta có :
\(\left(\frac{ID}{AD}+\frac{IE}{BE}+\frac{IF}{CF}\right)\left(\frac{AD}{ID}+\frac{BE}{IE}+\frac{CF}{IF}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{ID}{AD}}\sqrt{\frac{IE}{BE}}+\sqrt{\frac{IE}{BE}}\sqrt{\frac{BE}{IE}}+\sqrt{\frac{IF}{CF}}\sqrt{\frac{CF}{IF}}\right)^2\)
Biến đổi vế trái bằng cách dùng ID/AD + IE/BE + IF/CF = 1 (cmt) và phân tích AD/ID + BE/IE + CF/IF như bài làm trên,ta có đpcm
Còn thắc mắc gì cứ hỏi nhé!
