Question

Cho tam giác ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C vẽ tam giác ABD vuông cân ở A.Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B vẽ tam giác ACE vuông cân ở A . M là trung điểm của BC. Chứng minh AM vuông góc DE

 

Answer 1

Trên tia đối của tia MA, lấy K sao cho MA=MK

Xét ΔMAB và ΔMKC có

MA=MK

\(\hat{AMB}=\hat{KMC}\) (Hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMKC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MKC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//KC

=>\(\hat{BAC}+\hat{ACK}=180^0\) (1)

Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{BAC}=\hat{EAC}=90^0\)

\(\hat{DAC}+\hat{BAC}=\hat{DAB}=90^0\)

Do đó: \(\hat{BAE}=\hat{DAC}\)

\(\hat{EAD}+\hat{BAC}\)

\(=\hat{EAB}+\hat{BAC}+\hat{CAD}+\hat{BAC}\)

\(=2\left(\hat{DAC}+\hat{BAC}\right)=2\cdot\hat{BAD}=180^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{EAD}=\hat{ACK}\)

ΔMAB=ΔMKC

=>AB=KC

mà AD=AB

nên AD=KC

Xét ΔEAD và ΔACK có

EA=AC

\(\hat{EAD}=\hat{ACK}\)

AD=CK

Do đó: ΔEAD=ΔACK

=>\(\hat{AED}=\hat{CAK}\)

mà \(\hat{CAK}+\hat{EAK}=\hat{CAE}=90^0\)

nên \(\hat{AED}+\hat{EAK}=90^0\)

=>AK⊥DE

=>AM⊥DE