cho tam giác ABC nhọn vẽ về phía ngoài tam giác các đoạn thẳng AD vuông góc với AC,AD=AC và AE vuông góc với AB ( bài toán thuận kẻ AH vuông góc với BC tại H c/m đường thẳng AH đi qua trung điểm I của DE ) ( bài toán đảo gọi i là trung điểm của DE c/m đường thẳng AI vuông góc BC tại H ) giúp mik vs ạ thứ 7 mik nộp r
Bài toán thuận:
Trên tia đối của tia IA, lấy K sao cho IA=IK
Xét ΔIKE và ΔIAD có
IK=IA
\(\hat{KIE}=\hat{AID}\) (hai góc đối đỉnh)
IE=ID
Do đó: ΔIKE=ΔIAD
=>\(\hat{IKE}=\hat{IAD}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên KE//AD
=>\(\hat{AEK}+\hat{EAD}=180^0\) (1)
Ta có: \(\hat{EAD}+\hat{EAB}+\hat{BAC}+\hat{DAC}=360^0\)
=>\(\hat{EAD}+\hat{BAC}=360^0-90^0-90^0=180^0\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{AEK}=\hat{BAC}\)
ΔIKE=ΔIAD
=>KE=AD
mà AD=AC
nên KE=AC
Xét ΔAEK và ΔBAC có
AE=BA
\(\hat{AEK}=\hat{BAC}\)
EK=AC
Do đó: ΔAEK=ΔBAC
=>\(\hat{EAK}=\hat{ABC}\)
Gọi giao điểm của AK và BC là M
Ta có: \(\hat{EAK}+\hat{EAB}+\hat{BAM}=180^0\)
=>\(\hat{EAK}+\hat{BAM}=180^0-90^0=90^0\)
=>\(\hat{ABC}+\hat{BAM}=90^0\)
=>ΔAMB vuông tại M
=>AK⊥BC tại M
mà AH⊥BC tại H
nên H trùng với M
=>AK đi qua H
=>AH đi qua I
Bài toán nghịch:
Trên tia đối của tia IA, lấy K sao cho IA=IK
Xét ΔIKE và ΔIAD có
IK=IA
\(\hat{KIE}=\hat{AID}\) (hai góc đối đỉnh)
IE=ID
Do đó: ΔIKE=ΔIAD
=>\(\hat{IKE}=\hat{IAD}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên KE//AD
=>\(\hat{AEK}+\hat{EAD}=180^0\) (1)
Ta có: \(\hat{EAD}+\hat{EAB}+\hat{BAC}+\hat{DAC}=360^0\)
=>\(\hat{EAD}+\hat{BAC}=360^0-90^0-90^0=180^0\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{AEK}=\hat{BAC}\)
ΔIKE=ΔIAD
=>KE=AD
mà AD=AC
nên KE=AC
Xét ΔAEK và ΔBAC có
AE=BA
\(\hat{AEK}=\hat{BAC}\)
EK=AC
Do đó: ΔAEK=ΔBAC
=>\(\hat{EAK}=\hat{ABC}\)
Gọi giao điểm của AK và BC là H
Ta có: \(\hat{EAK}+\hat{EAB}+\hat{BAH}=180^0\)
=>\(\hat{EAK}+\hat{BAH}=180^0-90^0=90^0\)
=>\(\hat{ABC}+\hat{BAH}=90^0\)
=>ΔAHB vuông tại H
=>AH⊥BC tại H
=>AI⊥BC tại H
