Question

Cho tam giác ABC nhọn và H là trực tâm, các đường cao AA'; BB'; CC'. Lần lượt lấy đối xứng H qua BC, AC, AB được các điểm E, D, F. Chứng minh \(\left(\frac{HE}{A'A}\right)+ \left(\frac{HD}{B'B}\right)+ \left(\frac{HF}{C'C }\right)\) = 2.

Answer 1

Bạn kiểm tra lại đề nhé:

Chứng minh: \(\frac{HE}{AA'}+\frac{HE}{BB'}+\frac{HF}{CC'}=2\)

Ta có:

\(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S\left(HBC\right)}{S\left(ABC\right)}\); \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S\left(HAC\right)}{S\left(ABC\right)}\); \(\frac{HC'}{CC'}=\frac{S\left(BHA\right)}{S\left(ABC\right)}\)

=> \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=\frac{S\left(HAB\right)+S\left(HAC\right)+S\left(HBC\right)}{S\left(ABC\right)}=1\)

=> \(\frac{2HA'}{AA'}+\frac{2HB'}{BB'}+\frac{2HC'}{CC'}=2\)

Lại có: E; D; F lần lượt đối xứng với H qua BC; AC; AB 

=> HE = 2HA'; HD = 2HC'; HF = 2HB' 

=> \(\frac{HE}{AA'}+\frac{HE}{BB'}+\frac{HF}{CC'}=2\)