Question

Cho Tam giác ABC nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau tại H

a) CM:AE.AC=AF.AB

b)Tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng

c) Kẻ AH cắt BC tại D, ED cắt FC tại I. CMR: HI.CF=HF.CI

Thực sự là câu c quá khó đối với mình khiến mình phát uất đến suýt cả khóc nên mong các bạn giải hộ mình ;-;

Answer 1

Phần c) trước hết ta chứng minh HD là phân giác của \(\widehat{FID}\)

Answer 2

Xét \(\Delta DBH\)và \(\Delta EBC\)có

\(\widehat{BDH}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{CBE}\)chung

\(\Delta DBH\approx\Delta EBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow\frac{BD}{BH}=\frac{BE}{BC}\)(tính chất của tỉ lệ thức) 

Xét \(\Delta BDE\)và \(\Delta BHC\)có:

\(\widehat{CBE}\)chung

\(\frac{BD}{BH}=\frac{BE}{BC}\)(chứng minh trên)

\(\Delta BDE\approx\Delta BHC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BCH}\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BCF}\)

Ta có:

 \(\widehat{BED}+\widehat{DEC}=90^0\left(=\widehat{BEC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BCF}+\widehat{DEC}=90^0\)

Và vì \(\Delta FBC\)vuông tại F

\(\Rightarrow\widehat{BCF}+\widehat{FBC}=90^0\)(vì phu nhau)

Do đó :\(\widehat{DEC}=\widehat{FBC}\)(cùng phụ với \(\widehat{BCF}\))

\(\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{FBD}\)

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat{BFD}=\widehat{ECD}\)

Xét \(\Delta BFD\)và \(\Delta ECD\)có:

\(\widehat{BFD}=\widehat{ECD}\)(chứng minh trên)

\(\widehat{FBD}=\widehat{CED}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta BFD\approx\Delta ECD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BDF}=\widehat{EDC}\)(2 góc tương ứng)

Answer 3

Ta có:

\(\widehat{BDF}+\widehat{ADF}=90^0\left(=\widehat{BDA}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EDC}+\widehat{ADF}=90^0\)

Và \(\widehat{CDE}+\widehat{EDA}=90^0\left(=\widehat{CDA}\right)\)

Do đó: \(\widehat{ADF}=\widehat{EDA}\)

\(\Rightarrow\widehat{HDF}=\widehat{HDI}\)(với \(H\in FI\)hay \(H\in FC\))

\(\Rightarrow DH\)là phân giác của \(\widehat{FDI}\)(1)

Xét \(\Delta FDI\)có (1)

\(\Rightarrow\frac{HI}{FH}=\frac{DI}{DF}\)(tính chất) (2)

Ta có: \(AD\perp BC\Rightarrow HD\perp CD\)

Do đó \(CD\)là phân giác ngoài của \(\widehat{FDI}\)(với C là giao điểm của CD và FI) (3)

Xét \(\Delta FDI\)có (3)

\(\Rightarrow\frac{CI}{CF}=\frac{DI}{FD}\)(tính chất) (4)

Từ (2) và (4)

\(\Rightarrow\frac{HI}{FH}=\frac{CI}{CF}\left(=\frac{DI}{DF}\right)\)

\(\Rightarrow HI.CF=FH.CI\)(điều phai chứng minh).

Answer 4

Phần c) đầu tiên bạn nhớ chứng minh H là trực tâm của \(\Delta ABC\)rồi chứng minh \(AD\perp BC\), đừng xét luôn như tin 1.

Tính chất vận dụng : Nếu 1 góc đã cho có 1 tia phân giác ở bên trong góc đó và phân giác trong lại vuông góc với 1 đường thẳng thì đường thẳng đó là phân giác ngoài của góc đã cho.