Cho tam giác ABC nhọn ; đường cao AK và H là trực tâm. Kẻ Bx vuông góc với AB; Cy vuông góc với AC; Bx cắt Cy ở D. Gọi H' là điểm đối xứng của H qua BC.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Cm: BHCD, BCDH' là hình gì
b) Gọi I là trung điểm của AD. Cm: H,G, I thẳng hàng
d) Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì BHCD là hình thoi? - hình chữ nhật?
a) Ta thấy H là trực tâm tam giác ABC nên CH vuông góc AB. Suy ra DB song song CH.
Tương tự BH song song DC (Cùng vuông góc AC)
Vậy nên tứ giác BHCD là hình bình hành.
Do BHCD là hình bình hành nên \(\Delta BHC=\Delta CDB\left(c-g-c\right)\)
Lại có H' đối xứng với H qua BC nên \(\Delta BHC=\Delta BH'C\left(c-c-c\right)\)
Vậy thì \(\Delta CDB=\Delta BH'C\)
Gọi J là giao điểm của HH' và BC. Kẻ DK vuông góc BC tại K.
Khi đó ta có ngay H'J = KD. Vậy nên JKDH' là hình bình hành hay JK//H'D
Suy ra tứ giác BCDH' là hình thang.
Lại có : H'C = BD (Cùng bằng HC) nên BCDH' là hình thang cân.
b) Do BHCD là hình bình hành nên giao điểm của HD và BC là trung điểm mỗi đường. Ta gọi điểm đó là M.
Xét tam giác AHD có AM là trung tuyến, \(AG=\frac{2}{3}AM\) nên G là trọng tâm tam giác.
Vậy thì HG đi qua trung điểm AD, hay H, G, I thẳng hàng.
d) Để hình bình hành BHCD là hình thoi thì BH = HC. Vậy thì AH là đường cao đồng thời trung trực nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Để hình bình hành BHCD là hình chữ nhật thì HC vuông góc BH. Lại có HC//BD nên BD//BH. Vậy thì BH trùng AB. Tương tự CH trùng AC.
Suy ra để BHCD là hình chữ nhật thì tam giác ABC vuông tại A.
