Câu hỏi của Midori

Question

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Biết rằng BK = CI. C/m rằng tam giác ABC cânGiúp mik vs!!!

Đông Phương Lạc · Accepted Answer

Áp dụng định lí Py-ta-go cho hai tam giác vuông AKH và AIH, ta có: $AK^2+HK^2=AH^2$ $AI^2+HI^2=AH^2$ $\Rightarrow AK^2+HK^2=AI^2+HI^2$ $\left(\cdot\right)$Giả sử $AB\ne AC$ta xét 2 trường hợp:T/hợp 1: $AB>AC$$\Rightarrow AB-BK>AC-CI$( vì $BK=CI$) hay $AK>AI$ $\left(1\right)$Mặt khác, vì $AB>AC$nên $HB>HC$( quan hệ đường xiên - hình chiếu )$\Rightarrow HB^2>HC^2$hay $HK^2+BK^2>HI^2+CI^2\Rightarrow HK>HI$ $\left(2\right)$Từ $\left(1\right)$và $\left(2\right)$suy ra: $AK^2+HK^2>AI^2+HI^2$: trái với $\left(\cdot\right)$T/hợp 2: $AB< AC$: Chứng minh tương tự ta có: $AK^2+HK^2< AI^2+HI^2$: trái với $\left(\cdot\right)$Vậy điều giả sử $AB\ne AC$là sai, hay $AB=AC$Câu trả lời: Áp dụng định lí Py-ta-go cho hai tam giác vuông AKH và AIH, ta có: $AK^2+HK^2=AH^2$ $AI^2+HI^2=AH^2$ $\Rightarrow AK^2+HK^2=AI^2+HI^2$ $\left(\cdot\right)$Giả sử $AB\ne AC$ta xét 2 trường hợp:T/hợp 1: $AB>AC$$\Rightarrow AB-BK>AC-CI$( vì $BK=CI$) hay $AK>AI$ $\left(1\right)$Mặt khác, vì $AB>AC$nên $HB>HC$( quan hệ đường xiên - hình chiếu )$\Rightarrow HB^2>HC^2$hay $HK^2+BK^2>HI^2+CI^2\Rightarrow HK>HI$ $\left(2\right)$Từ $\left(1\right)$và $\left(2\right)$suy ra: $AK^2+HK^2>AI^2+HI^2$: trái với $\left(\cdot\right)$T/hợp 2: $AB< AC$: Chứng minh tương tự ta có: $AK^2+HK^2< AI^2+HI^2$: trái với $\left(\cdot\right)$Vậy điều giả sử $AB\ne AC$là sai, hay $AB=AC$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)