Question

Cho tam giác ABC nhọn, có AB < AC.Vẽ BD , CE là hai đường cao của tam giác ABC . a)Chứng minh: ADB đồng dạng  AEC và góc AED = góc ACB. b)Gọi F , K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC.Gọi I là giao điểm của KF và DE . Chứng minh : IE =IF.  

Answer 1

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Xét ΔADE và ΔABC có

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

\(\widehat{DAE}\) chung

Do đó: ΔADE~ΔABC

=>\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

b: Xét ΔBFD vuông tại F và ΔBDA vuông tại D có

\(\widehat{FBD}\) chung

Do đó: ΔBFD~ΔBDA

=>\(\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BD}{BA}\)

=>\(BF\cdot BA=BD^2\left(1\right)\)

Xét ΔBKD vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có

\(\widehat{KBD}\) chung

Do đó: ΔBKD~ΔBDC

=>\(\dfrac{BK}{BD}=\dfrac{BD}{BC}\)

=>\(BD^2=BK\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BF\cdot BA=BK\cdot BC\)

=>\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\)

Xét ΔBFK và ΔBCA có

\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\)

\(\widehat{FBK}\) chung

Do đó: ΔBFK~ΔBCA
=>\(\widehat{BFK}=\widehat{BCA}\)

mà \(\widehat{BCA}=\widehat{AED}\)

nên \(\widehat{IEF}=\widehat{IFE}\)

=>IE=IF