Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp (O), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại điểm H. Gọi K là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC
b) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với EF
c) Đường phân giác của góc FHB cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Gọi I là trung điểm của MN, J là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp và I; J; K thẳng hàng
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó ΔAEF~ΔABC
b: Kẻ tiếp tuyến Ax tại A của (O)
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)(ΔAEF~ΔABC)
nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
=>EF//Ax
=>EF\(\perp\)OA
