Question

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ \(DM\perp AB\) tại M, \(DN\perp AC\) tại N, \(DK\perp CF\) tại K. CMR: M, K , N thẳng hàng.

Answer 1

Ta có:

\(\widehat{FKM}+\widehat{MKD}+\widehat{DKC}=90^o+90^o=180^o\)

mà \(\widehat{FKM}=\widehat{NKC}\left(d.d\right)\)

nên \(\widehat{NKC}+\widehat{MKD}+\widehat{DKC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MKN}=180^o\)

Vậy M;K;N thẳng hàng(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

Answer 2

Mình xin phép dùng hình vẽ trên.
Gọi DK giao với AC tại O.
Ta chứng minh \(\Delta AMN\sim\Delta ACB\) . (Tính chất này mang tính tổng quát cho mọi tam giác ABC).
Thật vậy \(\Delta AMD\sim\Delta ADB\) nên:
\(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AD}{AB}\Leftrightarrow AM.AB=AD^2\).
Tương tự: \(\Delta AND\sim\Delta ADC\Leftrightarrow AN.AC=AD^2\).
Từ đó ta có:
\(AM.AB=AN.AC\Leftrightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\).
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
Góc A chung
Vì vậy \(\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(c.g.c\right)\).
Suy ra: \(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\).
Gọi DK giao với AC tại O.
Chứng minh tương tự như trên ta có:
\(\Delta OKN\sim\Delta OCD\) suy ra \(\widehat{OKN}=\widehat{OCD}=\widehat{ACB}\).
Gọi MN giao DO tại K'. Ta cần chứng minh K và K' trùng nhau.
Dễ thấy K và K' thuộc đoạn MN (do tam giác ABC nhọn).
Do DO // AB (cùng vuông góc CF).
MN cắt hai đường thẳng trên nên : \(\widehat{OK'N}=\widehat{AMN}\).
Suy ra: \(\widehat{OKN}=\widehat{OK'N}\).
Giả sử K và K' không trùng nhau:
Khi đó khồng mất tính tổng quát giả sử K' nằm giữa K và N, ta có hình vẽ sau:

Khi đó: \(\widehat{OKN}=\widehat{OK'N}\) (điều này là vô lý bởi \(\widehat{OK'N}>\widehat{OKN}\) theo tính tính chất góc ngoài của tam giác).
Bỏi vậy K trùng với K'.
Suy ra M, K, N thẳng hàng.

Answer 3

Tại sao lại phải lm khó bài toán lên v????? Hình tự vẽ!

Bài làm: Nối EF

- C/m: KN // EF

+) Ta có: DN // BE ( Cùng \(\perp\) AC) \(\Rightarrow\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\) (1)

+) Ta lại có: DK // BF ( Cùng \(\perp\) CF ) \(\Rightarrow\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{CD}{BC}\) (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CK}{CF}\) \(\Rightarrow\) KN // EF (*)

- C/m: MN // EF

+) Ta có: FH // MD ( Cùng \(\perp\) AB) \(\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AH}{AD}\) (3)

+) Ta lại có: HE // DN ( Cùng \(\perp\) AC) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AH}{AD}\) (4)

Từ (3); (4) \(\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AE}{AN}\) \(\Rightarrow\) EF // MN (**)

Từ (*); (**) \(\Rightarrow\) K, M, N thẳng hàng.

P/s: Bài toán mở rộng: Kẻ DI \(\perp\) BE. C/m: M, I, K, N thẳng hàng