Question

Tam giác ABC (AB < AC), AD, BE, CF là 3 đg cao cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI, đường thẳng này cắt AB tại M, cắt AC tại N. C/m: MH = HN

Answer 1

Từ C kẻ đường thẳng // MN cắt AB ở G, cắt AD tạ K => CK vuông góc với HI
Tam giác CHK có CI và HI là các đường cao nên I là trực tâm => KI là đường cao thứ 3
=> KI vuông góc với CH
Nhưng CH vuông góc với AB (do CF là đường cao t.g ABC)
=> AB//KI hay BG//KI
Tam giác BGC có KI//BG mà IB = IC nên KG = KC hay K là trung điểm CG
Do MN//GC nên theo Talet: MH/GK = AH/AK = HN/KC
=> MH/HN = GK/KC = 1 (Do GK = KC) nên MH = HN (Đpcm)